Construcción de fractales clásicos propuesta didáctica (página 2)

• f. Construir el triángulo de Sierpinski
  mediante la descripción de movimientos
  geométricos en el plano.

Conjunto de
Cantor

OBJETIVO:

A través del desarrollo de
la presente guía, el estudiante estará en capacidad
de

• a. Construir mediante una secuencia de
  instrucciones el conjunto de Cantor y elaborar otras formas
  alternativas de este conjunto con base en la misma idea de
  construcción.

• b. Encontrar patrones aritméticos y
  algebraicos en el proceso de construcción del conjunto
  de Cantor y sus formas alternativas.

• c. Construir el conjunto de Cantor mediante la
  aplicación de movimientos en el plano descritos
  verbalmente. Los movimientos que serán sujetos a dicha
  descripción son la homotecia y la
  traslación.

INTRODUCCIÓN

Cantor (1845 – 1918) fue un matemático
alemán cuyo trabajo se
orientó hacia la fundamentación rigurosa de la
matemática. Actualmente su obra es conocida
como teoría
de conjuntos.
Como parte de dicho trabajo, publicó en 1883 el famoso
conjunto que lleva su nombre: "Conjunto de Cantor". Este conjunto
es considerado por los matemáticos como un conjunto de propiedades
paradójicas. Por ejemplo, tiene infinitos puntos y sin
embargo su medida es cero. Este conjunto fue obtenido por Cantor
cuando intentaba caracterizar lo que es un conjunto continuo, es
decir, denso[1]en todas partes. Cantor pensaba que
todo conjunto perfecto debía ser continuo y
encontró que ese conjunto es
perfecto[2]pero no es denso en ninguna
parte.

En esta guía construirás el conjunto de
Cantor sólo en sus primeras etapas ya que, en la
práctica, es imposible hacer procesos que
contemplan infinitos pasos. También realizarás
algunas formas alternas de este conjunto; encontrarás
patrones aritméticos y algebraicos presentes en el
proceso de
construcción; y utilizarás algunos
movimientos básicos del plano en su
elaboración.

Actividad 1

• A. Construcción del conjunto de
  Cantor

• 1. Dibuja un segmento de 13.5 cm de
  largo.

• 2. El segmento anterior divídelo en tres
  partes iguales y borra la parte central.

• 3. A cada uno de los nuevos segmentos
  divídelo en tres partes iguales y borra la parte
  central.

• 4. Repite en cada uno de los nuevos segmentos
  obtenidos el punto 3.

• 5. Si se continúa con el mismo
  procedimiento indefinidamente,

• a. ¿Qué ocurre con la magnitud de
  los segmentos obtenidos?

• b. ¿Qué ocurre con la cantidad de
  segmentos?

• c. ¿Cuál sería la forma de
  la figura obtenida?

Formas alternas del conjunto de
Cantor

Cuadrado de cantor

La construcción básica para elaborar el
conjunto de Cantor a partir de un segmento es: "dividir el
segmento en tres partes iguales y suprimir la parte central".
Realiza las siguientes instrucciones:

• 1. Dibuja un cuadrado de 13.5 cm de lado en una
  hoja tamaño carta cuadriculada.

• 2. Sobre cada uno de los lados aplica la
  construcción básica para el conjunto de
  Cantor.

• 3. Con cada par de segmentos que forman las
  esquinas construye un cuadrado.

• 4. En cada uno de los cuadrados esquineros
  realiza nuevamente el punto 1 y 2.

• 5. Describe la figura que se obtendría
  de continuar indefinidamente con este
  procedimiento.

Triángulo de Cantor

Dibuja un triángulo equilátero (de 13.5 cm
de lado) y sobre cada uno de los lados aplica la
construcción básica de Cantor. En cada
vértice, con el par de segmentos formados, completa un
triángulo. Repite el proceso sobre cada uno de estos
triángulos generados en las esquinas. Al
terminar, vuelve a aplicar la construcción básica
sobre cada uno de los nuevos triángulos. ¿Si se
continúa con este procedimiento un
número indefinido de veces, cómo crees que
sería la figura resultante?

Actividad 2: Análisis de patrones numéricos y
geométricos

Nota: Los conceptos matemáticos requeridos para
el desarrollo de esta guía son: fracciones, decimales,
área y perímetro de un cuadrado y un
triángulo, así como la noción de serie
geométrica.

Conjunto de Cantor

• 1. A continuación se ilustran cada una
  de las etapas del proceso de construcción del conjunto
  de Cantor. Responde las preguntas planteadas en cada
  etapa.

Etapa 0

1 unidad

a. ¿Cuántos segmentos hay? R:
_______________

b. ¿Cuál es la longitud del segmento? R:
____________

Etapa 1

a. ¿Cuántos segmentos hay? R:
__________

b. ¿Cuál es la longitud de cada segmento,
si el segmento original mide una unidad? R:
______________

Etapa 2

• a. ¿Cuántos segmentos hay? R:
  _______

• b. ¿Cuál es la longitud de cada
  segmento, si el segmento original mide una unidad? R:
  ____________

Etapa 3

• a. ¿Cuántos segmentos forman el
  conjunto de Cantor en su etapa 3?

R: __________

• b. ¿Cuál es la longitud de cada
  segmento? R: __________

Etapa 4

a. ¿Cuántos segmentos forman el conjunto
de Cantor en su etapa 4?

R: __________

• c. ¿Cuál es la longitud de cada
  segmento? R: __________

• 2. Recopila la información en la
  siguiente tabla y complétala.

• 3. En este punto encontrarás algunas
  sumas. Para el caso en el que la suma contenga un
  número muy grande de sumandos, es recomendable que
  trates de convertirla en una suma
  geométrica.

• a. ¿Cuánto suman las longitudes
  de los segmentos formados en las etapas 0 y 1? R:
  _____________

• b. ¿Cuánto suman las longitudes
  de los segmentos formados en las etapas 0, 1 y 2? R:
  _____________

• c. ¿Cuánto suman las longitudes
  de los segmentos formados en las primeras 10 etapas? R:
  ______________

• d. ¿Cuánto suman las longitudes
  de los segmentos formados en las primeras n etapas? R:
  _____________

Cuadrado de Cantor

• 4. Enseguida se presenta la versión del
  conjunto de Cantor en el plano, mostrando cada una de sus
  etapas de evolución. Coloca los datos que se te piden.
  El cuadrado inicial tiene de lado una unidad.

Etapa 0 Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3 Etapa 4

Etapa 0

No de cuadrados _________

Área _______

Perímetro __________

Etapa 1

No de cuadrados _________

Área _______

Perímetro __________

Etapa 2

No de cuadrados _________

Área _______

Perímetro __________

Etapa 3

No de cuadrados _________

Área _______

Perímetro __________

• 5. Completa la siguiente tabla con base en la
  información obtenida anteriormente:

• 6. A continuación debes encontrar la
  suma que se te solicita

• a. Suma de las áreas de los cuadrados
  que se forman en las etapas 0, 1 y 2. De igual manera para el
  perímetro.

R: ________________

• b. Suma de las áreas de los cuadrados
  que se forman en las etapas 0,1,2 y 3. Lo mismo para el caso
  del perímetro.

R: _________________

• c. Halla la serie asociada a la suma de las
  áreas de los cuadrados que se forman en las n primeras
  etapas. Haz lo mismo para el caso del perímetro. R:
  _________________

Actividad 3: Construcción del conjunto de
Cantor a través de la descripción de movimientos.

• 1. A continuación se definen dos
  transformaciones T1 y T2 en el plano y la
  construcción dinámica para construir
  el conjunto de Cantor.

T1 = Reducir a la tercera parte respecto al punto
O.

T2 = Trasladar horizontalmente a la derecha 2/3 de
unidad.

Construcción dinámica

• I. Aplicar T1.

• II. Aplicar T1 y T2 de manera
  consecutiva.

• a. Aplica la construcción
  dinámica sobre el segmento que aparece a
  continuación. Dibuja la figura resultante sobre la
  línea de puntos que está debajo de este
  segmento.

O

………………………………………………………………………………..

• b. A la figura obtenida anteriormente, aplica
  las transformaciones T1 y T2. A lo que resulta
  dibújalo sobre la línea de puntos que aparece a
  continuación.

……………………………………………………………………………..

• c. Aplica las transformaciones T1 y T2 a la
  figura que resultó anteriormente. Dibuja la figura
  obtenida sobre la línea que aparece a
  continuación.

……………………………………………………………………………..

• 2. La representación análoga del
  conjunto de Cantor en el plano también puede ser
  construida por la aplicación de movimientos en el
  plano descritos verbalmente.

Las transformaciones que se definan son las
siguientes:

T1 = reducir a la tercera parte respecto al punto
O.

T2 = trasladar horizontalmente a la derecha 2/3 de
unidad.

T3 = trasladar verticalmente hacia arriba 2/3 de
unidad.

Etapa 1

• a. Sobre el cuadrado que aparece dibujado en la
  figura realiza la instrucción indicada y dibuja la
  figura resultante sobre la malla que aparece debajo de
  éste.

• i. Aplica la transformación
  T1.

ii. Aplica la transformación T1 y T2.

• iii. Aplica consecutivamente las
  transformaciones T1 y T3.

• iv. Aplica consecutivamente las
  transformaciones T1, T2 y T3.

Etapa 2

Esta etapa consiste en aplicar las instrucciones
descritas en la etapa 1 sobre la propia figura resultante. Aplica
la figura obtenida en una malla igual a la anterior y luego
píntala de verde.

Triángulo de
Sierpinski

OBJETIVO:

A través del desarrollo de la presente
guía, el estudiante estará en capacidad
de

• d. Construir el triángulo de Sierpinski
  mediante la realización de una secuencia de
  instrucciones.

• e. Reconocer patrones numéricos y
  geométricos subyacentes en el triángulo de
  Sierpinski.

• f. Construir el triángulo de Sierpinski
  mediante la descripción de movimientos
  geométricos en el plano.

INTRODUCCIÓN

El triángulo de Sierpinski fue introducido en
1916 por el gran matemático polaco Maclaw Sierpinski (1882
– 1969). Este científico fue uno de los
matemáticos polacos más influyente en su
época, siendo reconocido a nivel mundial. En su honor, uno
de los cráteres de la luna fue bautizado con su nombre. El
triángulo de Sierpinski es otro de los fractales
clásicos e inicialmente apareció como un ejemplo de
una curva en la cual, cada uno de sus puntos es un punto de
ramificación. Al igual que con el conjunto de Cantor, los
matemáticos han realizado estudios acerca de sus
propiedades.

En esta guía construirás el
triángulo de Sierpinski en sus primeras etapas y en sus
formas alternativas. Encontrarás también patrones
numéricos y geométricos que subyacen en su proceso
de construcción y utilizarás movimientos en el
plano para construir este fractal.

Actividad 1

• A. Construcción del Triángulo
  de Sierpinski

• 1. Dibuja un triángulo equilátero
  cuyo lado mida 16 cm en una hoja cuadriculada.

• 2. Señala el punto medio de cada lado y
  conecta estos puntos mediante segmentos.

• 3. De los cuatro pequeños
  triángulos que se han formado, colorea de amarillo el
  triángulo central.

• 4. Sobre cada uno de los triángulos que
  no fueron coloreados realiza nuevamente los puntos 2 y
  3.

• 5. Nuevamente, sobre cada uno de los
  triángulos que no fueron coloreados, realiza los
  puntos 2 y 3.

• 6. A los triángulos que no fueron
  coloreados de amarillo, píntalos de negro. La
  región formada por los triángulos coloreados de
  negro se llama triángulo de Sierpinski de orden
  3.

• 7. Si este proceso se continúa
  indefinidamente, ¿qué características
  crees que tendría la figura o triángulo de
  Sierpinski que iría resultando?

• B. Reconstrucción del
  triángulo de Sierpinski

Malla de puntos

Sobre la siguiente malla de puntos construye el
triángulo de Sierpinski de orden 4.

Diseño hoja Bond base 28

Para esta actividad necesitarás los siguientes
materiales:
Una hoja bond base 28, un octavo de papel silueta de cualquier
color, una
cuchilla, regla, borrador y un lápiz.

• 1. Dibuja sobre la hoja de papel un
  triángulo equilátero de lado 16 cm.

• 2. Determina los puntos medios de cada lado y
  conecta estos puntos mediante segmentos.

• 3. De los cuatro triángulos que se han
  formado recorta el triángulo central.

• 4. Sobre cada uno de los triángulos no
  recortados repites el punto 2 y 3.

• 5. Nuevamente, sobre los triángulos no
  recortados repites el punto 2 y 3. Debes tener cuidado de que
  al hacer los cortes los triángulos no se
  desprendan.

• 6. Una vez más repite el numeral
  5.

Actividad 2: Análisis de patrones
numéricos y geométricos

A continuación se ilustran cada una de las etapas
del proceso de evolución del triángulo de
Sierpinski. Se supone que cada figura se genera de la anterior y
que el triángulo es isósceles y sus lados iguales
miden una unidad. Para cada una de las etapas escribe los
datos que se
te piden.

Etapa 0

¿Cuántos triángulos hay? R:
_____________

¿Cuánto mide la base? R:
_____________

¿Cuánto mide la altura? R:
_____________

¿Cuánto mide la hipotenusa? R:
_____________

¿Cuánto mide el perímetro? R:
____________

Etapa 1

¿Cuántos triángulos hay? R:
_____________

¿Cuánto mide la base de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide la altura de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide la hipotenusa de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide el perímetro de cada
triángulo? R: ___________

¿Cuánto mide el área de cada
triángulo? R: ____________

Etapa 2

¿Cuántos triángulos hay? R:
_____________

¿Cuánto mide la base de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide la altura de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide la hipotenusa de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide el perímetro de cada
triángulo? R: ___________

¿Cuánto mide el área de cada
triángulo? R: ____________

Etapa 3

¿Cuántos triángulos hay? R:
_____________

¿Cuánto mide la base de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide la altura de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide la hipotenusa de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide el perímetro de cada
triángulo? R: ___________

¿Cuánto mide el área de cada
triángulo? R: ____________

Etapa 4

¿Cuántos triángulos hay? R:
_____________

¿Cuánto mide la base de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide la altura de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide la hipotenusa de cada
triángulo? R: ____________

¿Cuánto mide el perímetro de cada
triángulo? R: ___________

¿Cuánto mide el área de cada
triángulo? R: ____________

• 3. Con base en los datos recogidos
  anteriormente completa la siguiente tabla:

Actividad 3: Construcción del triángulo
de Sierpinski mediante la descripción de movimientos en el
plano.

A continuación se definen las transformaciones
rígidas del plano a partir de las cuales se construye el
triángulo de Sierpinski.

T1: Reducir la tercera parte respecto al punto
0.

T2: Trasladar horizontalmente a la derecha ½ de
unidad.

T3: Trasladar horizontalmente a la derecha ¼ de
unidad.

T4: Trasladar verticalmente hacia arriba
3 /4 de unidad.

Enseguida se da el conjunto de instrucciones
básicas para construir el triángulo de
Sierpinski.

• i. Aplica la transformación
  T1.

ii. Aplica la transformación T1 y T2.

iii. Aplica la transformación T1, T2 y
T3.

• 1. Sobre la figura que aparece a
  continuación aplica el conjunto de instrucciones
  básicas. El resultado dibújalo en la malla que
  aparece en el lado derecho.

• 2. Aplica nuevamente el conjunto de
  instrucciones básicas sobre la figura obtenida en la
  malla dibujada en el punto 1.

• 3. Aplica nuevamente el conjunto de
  instrucciones básicas sobre la figura obtenida en la
  malla dibujada en el punto 2.

• 4. Definir las transformaciones que dan origen
  a la siguiente versión del triángulo de
  Sierpinski.

T1:
______________________________________________

T2:
______________________________________________

T3:
______________________________________________

• 5. Para el anterior Triángulo de
  Sierpinski describe el conjunto de instrucciones
  básicas a partir de las cuales se puede
  construir.

• i. _____________________________________________________

ii.
______________________________________________________

iii.
_____________________________________________________

Conclusiones

El desarrollo de actividades en matemáticas que presenten como centro la
construcción de conocimiento y
no la simple transmisión de información permiten generar en los
estudiantes un mayor nivel de motivación y le brinda la posibilidad de
desarrollar procesos de
pensamiento por medio de contenidos novedosos.

La construcción de los fractales es un apoyo
grande a la nivelación que necesita el estudiante
próximo a presentar una prueba de Estado ya que
le posibilita el acercarse nuevamente a conceptos no vistos o ya
olvidados, no desde una visión memorística sino en
la aplicación de estos conocimientos y el desarrollo de
competencias
básicas.

Es necesario desarrollar todo el trabajo con
los fractales ya que hace un acercamiento mayor a lo que hoy se
debería enseñar en geometría
con la aplicación de otros pensamientos de la
matemática como el numérico y el
variacional.

Bibliografía

Mandelbrot, Benoit. La geometría fractal de la naturaleza.
Colección Metatemas. Tusquets Editores. Barcelona.
1997.

Mandelbrot, Benoit. Los objetos fractales.
Colección Metatemas. Tusquets Editores. Barcelona.
1993.

Estrada, William Fernando. Geometría Fractal.
Colección Didácticas. Editorial Magisterio.
Bogotá. 2004.

Diversas paginas Web Internet.

Autor:

Jorge Eliécer Villarreal
Fernández

[1] Sean A y B conjuntos de números
reales. Se dice que un conjunto A es denso en B si todo
intervalo centrado en cualquier punto de B contiene puntos de
A.

[2] Se dice que un conjunto es perfecto
cuando es igual al conjunto de todos sus puntos de
acumulación. Un punto de acumulación de un
conjunto es aquel punto para el cual todo intervalo centrado en
él contiene puntos del conjunto.